2009年6月1日月曜日

シャープレシオ最大化問題 その4

さて,前回まででシャープレシオを最大化する
ベクトルの範囲をかなり限定することに成功し
ついには非負のパラメータ α の関数の最大化に
帰着させることに成功したのでした~
その関数とはずばり…

g(\alpha) = \frac{ \alpha\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
}{ \sqrt{ \alpha^2\lVert q \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} } }
であります(^^)/
ここで

\begin{aligned}
s&=\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})\\
q&=\biggl( s - \frac{\langle \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}, s\rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\biggr)
\end{aligned}
でしたね!ちなみに,肝心の w は α を用いて

w=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}+v=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}} + \alpha q
と復元できたことも思い出しておきましょう.


さて,こいつをガツんとびぶっちゃうとこうなります:

g'(\alpha)=\frac{\lVert q\rVert_\varSigma^2 \bigl(1-\alpha\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma\bigr)}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2\Bigl(\alpha^2\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\Bigr)^{\frac{3}{2}}}
あとは3通りに場合分けして答えをえます!

場合分けは高校生でもできるので簡単です~
ので省略します…(-_-;)
まとめると答えは次のようになります!


シャープレシオ最大化問題を解くポートフォリオ w および
その時のシャープレシオ θmax, リターン rp,
リスク(標準偏差) σp は次のようになる:
ケース1
\mu=\rho\boldsymbol{1}\ \text{for some}\ \rho\in\mathbb{R}のとき

\begin{aligned}
w&=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}},\\
\theta_{\rm max} &= (\rho-r)\sqrt{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}},\\
r_p &= \rho,\\
\sigma_p&=\frac{1}{\sqrt{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}
ケース2

\begin{cases}
\mu\neq\rho\boldsymbol{1} \quad \text{for all}\ \rho\in\mathbb{R}\\
\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma =\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) > 0
\end{cases}
のとき

\begin{aligned}
w&=\frac{\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
\theta_{\rm max} &= \sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
r_p&=\frac{\mu^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
\sigma_p&=\frac{\sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}
\end{aligned}
ケース3

\begin{cases}
\mu\neq\rho\boldsymbol{1} \quad \text{for all}\ \rho\in\mathbb{R}\\
\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma =\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) \le 0
\end{cases}
のとき
最大値は存在しない.
しかし妥協案として次のポートフォリオが考えられる.

\begin{aligned}
w_\alpha&=\alpha\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) \\
&\qquad+ \bigl\{1-\alpha\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) \bigr\}
\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}\\
\theta_\alpha&= g(\alpha)
\end{aligned}
g は上で定義したとおり.
g は α の単調増加関数なので,α を十分大きくとればその上限

\sup_{\alpha\ge 0} g(\alpha) = \sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) - \frac{(\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) )^2}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}}
を任意の精度で近似できる.
ただし, α を大きくするにつれてリスクも(リターンも)無限大に近づくことに注意!


【考察】
ケース1は実際はほとんど起こり得ないと考えられるでしょう.
また,実際はポートフォリオに組み込む銘柄を選択できるので
できるだけケース2の条件を満たすように選ぶことが理想的です.
なぜなら,ケース3において最小のリスクになるように α を調整したとします.
これは α = 0 で実現できるのですが,
このポートフォリオは最小のリスク(標準偏差)を与えるにも関わらず,
(もちろん危険資産の組なのでリスクは0ではありません)
そのリターンは安全資産の金利 r よりも低いというサックスな
ポートフォリオなのです!!!
(これは簡単に確認できます)


ふぅ,長かったですがようやくシャープレシオ最大化問題に終止符を打てました!
次回は実験してみたいと思います!!

それでは~(^^)/

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