シャープレシオ最大化問題 その４

さて，前回まででシャープレシオを最大化する
ベクトルの範囲をかなり限定することに成功し
ついには非負のパラメータ α の関数の最大化に
帰着させることに成功したのでした～
その関数とはずばり…

g(\alpha) = \frac{ \alpha\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
 }{  \sqrt{ \alpha^2\lVert q \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} } }

であります(^^)/
ここで

\begin{aligned}
s&=\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})\\
q&=\biggl( s - \frac{\langle \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}, s\rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\biggr)
\end{aligned}

でしたね！ちなみに，肝心の w は α を用いて

w=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}+v=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}} + \alpha q

と復元できたことも思い出しておきましょう．


さて，こいつをガツんとびぶっちゃうとこうなります：

g'(\alpha)=\frac{\lVert q\rVert_\varSigma^2 \bigl(1-\alpha\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma\bigr)}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2\Bigl(\alpha^2\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\Bigr)^{\frac{3}{2}}}

あとは３通りに場合分けして答えをえます！

場合分けは高校生でもできるので簡単です～
ので省略します…(-_-;)
まとめると答えは次のようになります！


シャープレシオ最大化問題を解くポートフォリオ w および
その時のシャープレシオ θ_max, リターン r_p,
リスク（標準偏差） σ_p は次のようになる：
ケース１
\mu=\rho\boldsymbol{1}\ \text{for some}\ \rho\in\mathbb{R}のとき

\begin{aligned}
w&=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}},\\
\theta_{\rm max} &= (\rho-r)\sqrt{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}},\\
r_p &= \rho,\\
\sigma_p&=\frac{1}{\sqrt{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}

ケース２

\begin{cases}
\mu\neq\rho\boldsymbol{1} \quad \text{for all}\ \rho\in\mathbb{R}\\
\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma =\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) > 0
\end{cases}

のとき

\begin{aligned}
w&=\frac{\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
\theta_{\rm max} &= \sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
r_p&=\frac{\mu^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
\sigma_p&=\frac{\sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}
\end{aligned}

ケース３

\begin{cases}
\mu\neq\rho\boldsymbol{1} \quad \text{for all}\ \rho\in\mathbb{R}\\
\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma =\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) \le 0
\end{cases}

のとき
最大値は存在しない．
しかし妥協案として次のポートフォリオが考えられる．

\begin{aligned}
w_\alpha&=\alpha\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) \\
&\qquad+ \bigl\{1-\alpha\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) \bigr\}
\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}\\
\theta_\alpha&= g(\alpha)
\end{aligned}

g は上で定義したとおり．
g は α の単調増加関数なので，α を十分大きくとればその上限

\sup_{\alpha\ge 0} g(\alpha) = \sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) - \frac{(\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) )^2}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}}

を任意の精度で近似できる．
ただし， α を大きくするにつれてリスクも（リターンも）無限大に近づくことに注意！


【考察】
ケース１は実際はほとんど起こり得ないと考えられるでしょう．
また，実際はポートフォリオに組み込む銘柄を選択できるので
できるだけケース２の条件を満たすように選ぶことが理想的です．
なぜなら，ケース３において最小のリスクになるように α を調整したとします．
これは α = 0 で実現できるのですが，
このポートフォリオは最小のリスク（標準偏差）を与えるにも関わらず，
（もちろん危険資産の組なのでリスクは０ではありません）
そのリターンは安全資産の金利 r よりも低いというサックスな
ポートフォリオなのです！！！
（これは簡単に確認できます）


ふぅ，長かったですがようやくシャープレシオ最大化問題に終止符を打てました！
次回は実験してみたいと思います！！

それでは～(^^)/

シャープレシオ最大化問題 その３

<<前回までのリンク>>
その２， その１

前回は制約を満たす w をカーネル K の元 v を用いて
変数変換を行いましたね～
その結果問題は次のように書き変わったのでした～

\begin{aligned}
\text{maximize} &\quad f(v) = \frac{ \langle s, v \rangle_\varSigma + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
 }{  \sqrt{ \lVert v \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} } } \\
\text{subject to}&\quad v \in K = \{\, x\in\mathbb{R}^N \mid \langle \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}, x\rangle_\varSigma = 0\,\}
\end{aligned}

ただし

s = \varSigma^{-1}(\mu - r \boldsymbol{1})

だったことを思い出しておきましょう(*_*;
（その１参照）

今日は第２のステップです！
今日のテクは非常によく使われる常套手段ですよー

一般に，任意のベクトルはある部分空間とその直交補空間の元の和で
一意に表現できることが知られています．
そこで s を K とその直交補空間 K^⊥ の元に分解しましょう～
後々ご利益がわかるとおもいます(^_^;)

さて，分解の仕方は簡単なのですが結果だけ書くことにします：

\begin{aligned}
s &= q +\underbrace{\frac{\langle \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}, s\rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}_{\in K^\perp}\\
q &= \biggl( s - \frac{\langle \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}, s\rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\biggr) \in K
\end{aligned}

右辺が s であることは自明ですね．．．
また q が K の元であることも簡単に確認できます．

この表現を f の分子第一項に代入して
v が Σ^-11 と直行することに注意すると

f(v) = \frac{ \langle q, v \rangle_\varSigma + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
 }{  \sqrt{ \lVert v \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} } }

になります．
（分子の第一項の s だった部分が q ∈ K に変わりました）

さて，ここまで来たらあと一息です！
v ∈ K を大きさと角度（内積）に分けて考えましょう！
今 v の長さ（ここでは f の分母に現れるノルムのこと）を固定して
方向をいろいろ変えてみましょう～
すると，明らかに f の分子は v が
q と同じ方向を向いている時のほうが大きいですよね！
よって v としてはスカラー α ≥ 0 を用いて v = αq ∈ K
となる v だけ考えればよいことになっちまいます！！

ちょいメモ：
ここで s を K の方向 q とその直交方向に分解したことが生きてます
というのも，もし分解せずに同じ議論を行うと
v = αs が良いってことになっちまいますが
残念ながら s ∈ K でない限り αs ∉ Kです…
これじゃ v ∈ K という制約が満たされませんぜ．．

さて，v = αq を f(v) に代入して α ≥ 0 の関数に書き直すと…

\begin{aligned}
g(\alpha) &= f(\alpha q)\\
 &= \frac{ \alpha\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
 }{  \sqrt{ \alpha^2\lVert q \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} } }
 \end{aligned}

になります！
ここまで来たらあとは α ≥ 0 以外は定数だから
微分でもすりゃー高校生だって解けちゃいます！


疲れましたね…
次回はこいつを微分して決着をつけましょう！

それでは
(@^^)/~~~