シャープレシオ最大化問題 その１

こんばんわ～
前回までシャープレシオの最大化についてこだわってきましたが
ようやくその問題を解決していきたいと思います！

レイリーやら固有値やら考えてきましたが
長かったです～
「急がばまわれ」これはウソですね．
遠回りせず直接考えたほうが早かった模様であります(-_-;)



さて，回を重ねるうちに問題もふにゃふにゃしてきたので
いったん数学的に整理してから始めたいとおもいます．


【シャープレシオ最大化問題】
金利 r の安全資産１つと N 個の危険資産（確率変数）の組X = (X_1, X_2, \dots, X_N)^Tを考える．（ここで X_i は危険資産 i の１期間後の利回りを表す．）
ベクトルXに関する２次までの統計量がそれぞれ
\begin{aligned}
\mu &= \mathbb{E} X \quad \text{(mean rate vector)} \\
\varSigma &= \mathbb{E}[ (X-\mu)(X-\mu)^T ] \quad \text{(covariance matrix)}
\end{aligned}
で与えられる時，（空売り有の）ポートフォリオ w
(N 次元ベクトルで成分の総和が1）
のシャープレシオ θ(w)を最大化せよ．
すなわち，次の最適化問題を解け：

\begin{aligned}
\mathop{\rm maximize}\limits_{w \in \mathbb{R}^N} &\quad \theta(w) =
\frac{\mu^T w - r}{ \sqrt{w^T \varSigma w} } \\
\text{subject to} &\quad \boldsymbol{1}^T w = 1
\end{aligned}

ただし，1 = (1, … 1)^T とし共分散行列 Σ は正定値であると仮定する．


【答え】
以前この話題で導入した行列を間っこに挟んだ内積とノルムを導入します：
\begin{aligned}
\langle x, y \rangle_\varSigma &= y^T \varSigma x\\
\lVert x \rVert_\varSigma &= \sqrt{ \langle x, x \rangle_\varSigma }
\end{aligned}
これと条件 ，1^Tw = 1 を用いるとすぐに

\begin{aligned}
\theta(w) &= \frac{(\mu - r \boldsymbol{1})^T w}{\sqrt{w^T\varSigma w}}
= \frac{ \langle s, w \rangle_\varSigma }{ \lVert w \rVert_\varSigma} \\
s &= \varSigma^{-1} (\mu - r \boldsymbol{1})
\end{aligned}

であることがわかります．

これ，よく見て高校の数学を思い出せば，多次元のベクトルであるものの
θ は s と w の間の角度によって決まることがわかるかと思います．
よって単純に（無制約で） θ を最大化する w は s の方向と同じ方向のはずですね～
つまり w = α s (α > 0) ということです．

メモ：より正確にはCauchy-Schwartzの不等式から

\theta(w) \le \frac{ \lVert s \rVert_\varSigma \lVert w \rVert_\varSigma}{\lVert w \rVert_\varSigma} = \lVert s \rVert_\varSigma 

で等号は w = α s (α > 0) の時成立することが知られています．

もしこの方向で 1^Tw = 1 を満たす w が見つかれば
それが求める解ということになります！

まずはこの簡単な状況にターゲットを絞って問題を解きましょう！
俗に言う場合分けってやつですな^_^;

条件 1^Tw = 1 に w = α s を代入して
α について解くと α = 1 / (1^Ts) です．
しかし α > 0 を満たさなければならないので，

\boldsymbol{1}^T s =
\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r \boldsymbol{1}) > 0

となる条件下では

w = \alpha s = \frac{\varSigma^{-1}(\mu - r\boldsymbol{1})}{
\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1}(\mu - r\boldsymbol{1})}

が解になりますね！

またこの時のシャープレシオの最大値は

\theta(\alpha s) = \lVert s \rVert_\varSigma
= \sqrt{(\mu - r \boldsymbol{1})^T \varSigma^{-1} (\mu - r \boldsymbol{1})}

で与えられます(*^^)v


上記をまとめると次の部分的な結果を得ます：
【途中結果】
条件

\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r \boldsymbol{1}) > 0

が成り立つ時，シャープレシオ θ は

w = \frac{\varSigma^{-1}(\mu - r\boldsymbol{1})}{
\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1}(\mu - r\boldsymbol{1})}

で最大値

\theta_{\max} = \sqrt{(\mu - r \boldsymbol{1})^T \varSigma^{-1} (\mu - r \boldsymbol{1})}

を取る．


では上の条件が満たされないときはどうなんでしょうか？？
次回からはこの場合を考えたいと思いますが，
先に結論から言ってしまうと，
上の条件が満たされない時は最大値は存在しません．
まあ正確に言いますと～，
上限は存在してそれを任意の精度で近似するポートフォリオは作れます．
ただそれは非常にサックスなポートフォリオになりますが…
これは次回以降に詳しく述べたいと思います．


上のケースでは意外と簡単に，幾何学的直観に基づいて答えを導けましたが
次回のケースはもう少し繁雑になりますので…

それではまた～
(@^^)/~~~