一般化レイリー商最大化・最小化問題 その１

ポートフォリオってやっぱ最適化したいですよね～

以前友達がある尺度で最適なポートフォリオを考えると，
次のような問題を考えることになると言ってました！
（なぜそうなるかはよくわかってませんが…要勉強）

問題：次の最適化問題を解け：\mathop{\rm maximize}\limit_{x \neq 0} \quad R(x) = \frac{x^t A x}{x^t H x}
ただし，Aはn次実対称行列，Hはn次実対称正定値行列とする．

実は，このR(x)は一般化Rayleigh商と呼ばれていて，
R(x)の最大化・最小化）問題は一般化固有値を求める問題に帰着されます～
一般化固有値とは次のようなもんです( ..)φ

定義：行列A, Hに対し，次の等式を満たすスカラーλを(A, H)の一般化固有値と呼ぶ．
Av = \lambda Hv
また，ベクトルvをλに対応する一般化固有ベクトルと呼ぶ．

さてさて，先に答えを教えちゃうと…
R(x)の最大値は(A, H)の最大の一般化固有値λ_maxであり，
最大値はλ_maxに対応する一般化固有ベクトルv_maxで達成されます！
つまりR(v_max) = λ_maxということです(^^)

もちろん，最大の一般化固有値～と言っている以上，
(A, H)の一般化固有値は実数であることが証明できますし，
v_maxも実ベクトルに選ぶことができます．

最小化問題も同様に，最小の一般化固有値とそれに対応する一般化固有ベクトルが解となります．

ん～，一般化とか言われるとなんだか一見難しそうですが…
実はそんなことありません！
これは「直交の意味が普通とは異なる世界」で固有値問題を考えるのと同じです．

よくわからないかもしれませんが，
この問題については次回以降に詳しく書きたいと思います～

今日はポートフォリオの話からはひどく乖離してしまいました…
ポートフォリオなどもいずれ考えれたらいいと思ってます．
それでは～