リスクとリターン：確率変数の導入

今日はリスクとリターンについて考えます．

1期間モデルを考えましょう．
つまり，ポートフォリオを組んだ後，しばらくして決済するってことです．

今n 種類の資産からなるポートフォリオ

w = (w_1, w_2, \dots, w_n)^T

を持ってます．
これから考える問題は…
このポートフォリオのリターンとリスクを評価する問題です(^^)


さて，まずはリターンから考えましょう．
資産 i の1期間後の値上がり率をr_i とします．
もしr_i < 1 ならそれは値下がりしたってことです…

もちろん値上がり率なんて「神のみぞ知る」ですから
不確定さを表現するために確率変数としてモデル化します．

このとき，ポートフォリオによる収益は1期間後に

\begin{aligned} s &= w_1 r_1 + w_2 r_2 + \dots + w_n r_n \\
&= w^T r, \\ r &= (r_1, r_2, \dots, r_n)^T \end{aligned}

になります．
ここで，s はw が比による表現なら収益率を表し，
金額による表現ならいくら儲かったかを表しますね～

これがリターンです．
数学的にはユークリッド内積であらわせます．

期待されるリターンはもちろん

\mathbb{E}[s] = w^T \mathbb{E}[r]

になります．
あ，ベクトルの期待値は各成分ごとの期待値です…念のため．


この期待されるリターンはいったいどれくらいの
「不確かさ」を含んでいるのでしょうか？
これがすなわち「リスク」であり，分散で表現します．

資産iと資産j の共分散が σ_ij の時
期待リターンの分散は次のようになりますね：

\begin{aligned}
\sigma^2 &= \mathbb{E} [ (s - \mathbb{E}[s])^2 ] \\
         &= w^T \mathbb{E} [ (r - \mathbb{E}[r]) (r - \mathbb{E}[r])^T ] w \\
         &= w^T \varSigma w
\end{aligned}

ここで Σ は共分散行列で ij成分が σ_ijの行列です．

この2次形式で表わされる量がポートフォリオの分散，すなわちリスクになります．
ポートフォリオの最適化では基本的にはこれら2つの量，
期待リターンとリスクを最適化する模様です！！

今日のまとめ： ポートフォリオ w の期待リターンとリスクはそれぞれ

\begin{aligned} s &= w^T \overline{r} ; \\ \sigma^2 &= w^T \varSigma w \end{aligned}

である．ここで，\overline{r}, \ \varSigmaはそれぞれリターンの期待値ベクトルと共分散行列である．

だんだん最適化っぽくなってきましたね！
それではまた～(^^)/