一般化レイリー商最大化・最小化問題 その３

<<前回までの記事>>
第２回，第１回

こんにちは(^^)/
みなさんＧＷはどうお過ごしでしょうか？
さ，せっかくの休みなのに数学の続きですー orz

前回はH-直交行列という新しい概念を導入しましたね．
今日は対称行列の対角化とスペクトル分解を紹介します！
一般化レイリー商R(x)の最大化問題の肝となる部分です！！

実対称行列が直交行列で対角化できることはよく知られた事実ですが，
実はH-直交行列によっても対角化できちゃいます～

定理： n次実対称行列AはあるH-直交行列Vを用いて次のように対角化できる：

V^t A V = \varLambda = \mathop{\rm diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

ここで，λ_iは(A, H)の一般化固有値であり，Vの第i列はλ_iに対応する一般化固有ベクトルとなる．

証明： 対称行列を直交行列で対角化する証明と同じようにできます．
ただ，ブログに書くのはあれなので，スキップさせてくださいねm(__)m
（一般化固有ベクトルがH-直交するように選べることを示せば良いです．）
ちなみに異なる一般化固有値に対応する一般化固有ベクトル同士はH-直交します．
重複する一般化固有値に対しては，固有空間からH-直交な基底を取ってきます．
サイズnに関する帰納法を使うと簡単に示せます．
下の本なんか参考になると思います↓↓↓


さて，対角化ときたらスペクトル分解もすぐ導けます～

系： n次実対称行列Aは(A, H)のH-正規直交な一般化固有ベクトル v_i, i = 1, 2, … n, とそれに対応する一般化固有値 λ_i, i = 1, 2, … n, を用いて次のように分解できる．

A = H V \Lambda V^t H = \sum_{i = 1}^n \lambda_i H v_i v_i^t H

証明： V = [v₁, …, v_n] と置くと，VはH-直交行列でAを V^tAV = Λと対角化できる．この両辺に左からHV，右からV^tHを掛けてVV^t = H^-1 という関係を用いればよい． Q.E.D.

次回は遂にスペクトル分解を用いて
一般化レイリー商R(x)の最大化問題の解を求めたいと思います！

それでは～