シャープレシオ最大化問題 その２

前回のつづきです

前回は Σ を間に挟んだ内積を定義して
特殊なケースでの最大値を求めましたね～
今日はそうでない場合を考えましょう！
（実はこのアプローチなら前回の場合を含む形で解けます）

さて，問題が解く最初のステップは，
制約 1^Tw = 1 を満たす wを扱いやすい形で表現することです．
このために，次の集合を導入しましょう：

K = \{ \, v \in \mathbb{R}^N \mid 
\langle \varSigma^{-1} \boldsymbol{1},
v \rangle_\varSigma = 0 \, \}

これは Σ^-11で張られる線形部分空間の直交補空間です．
（内積 ⟨•,•⟩_Σ を持つヒルベルト空間の意味でです）

集合 K を導入するメリットは，もしある w が
制約 1^Tw = ⟨ Σ^-11, w⟩_Σ = 1 を満たすとすると
任意のv ∈ K に対して w + v もまた制約を満たすということです．
従って制約を満たす代表の w を一つ見つけたら
あとは w + v, v ∈ K の形で制約を満たすすべてのwを表現できます

そこで制約を満たす代表の w を見つけましょう！
これは超簡単で， Σ^-11 のスカラー倍で制約を満たすよう調整します．
つまり次のベクトルを代表に選びましょう：

\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}
{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} 
\rVert_\varSigma^2}

以後 v ∈ K をパラメータとして

w = \frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}
{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} 
\rVert_\varSigma^2} + v, \quad v \in K

の w を考えていきましょう．

上の形の w を θ に代入して問題を パラメータv
の問題に書き換えると次のようになります：

\begin{aligned}
\text{maximize} &\quad f(v) = \theta\biggl(
\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}
{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} 
\rVert_\varSigma^2} + v \biggr) \\
&\quad\quad\quad=
 \frac{ \langle s, v \rangle_\varSigma
 + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
 }{ 
 \sqrt{ \lVert v \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} }
 }
 \\
\text{subject to}&\quad v \in K
\end{aligned}

f の分母を導出する際に，v と Σ^-11が直交することを用いたことに注意してください．


関数は複雑になりましたが，少し進展したんですよ(-_-;)
とりあえず今日はこの w から v への変数変換を行ったとこまでにします．

それではまた～