こんばんわ！
最近更新が滞ってます(-_-;)
というのも，より詳細なデータ分析を
Ｄｏしちゃいいたいと思ってきた今日この頃でして～
データ収集のためにあんなこんななわけですわー
ちなみに，データ分析にはどんなソフトがお薦めですか？？
まあ俺のような凡人にはエ○セルがお似合いでしょうけどね…
でもマス目に数字がドバっと並ぶとクラクラしますよね(＠_＠;)
とりあえず，なんかできたら報告させていただきます～！
2009年6月2日火曜日
シャープレシオ最大化 ちょい実験
<<関連トピック>>
シャープレシオ最大化問題
その１， その２， その３， その４
はてはて，これまで長きにわたりシャープを最大化する問題
を考えてきて，ようやく答えがでたところでした～
今日は実データをもとに実験してみたいと思います！！
ようやく投資の匂いが漂ってきました(^^)
今日のところは銘柄選択は問題とせず，
適当に以下の５社を選びました．
パナソニック (6752)
任天堂 (7974)
シンプレクス テクノロジー (4340)
東京電力 (9501)
トヨタ (7203)
これら５社の2009/1/5～5/27までの日足データをもとに
１日の平均リターンと共分散を求めました（下参照）
データはYahoo Financeから拝借．
統計データの計算法は日足とか使ってる時点で怪しいかも…
また，安全資産は年0.5%の国債ってことにして，
１日の金利を 0.5 / 365 で計算しますた（適当…）
ともかく，実験なので良しとします～ぉぃぉぃ
リターン
共分散行列
※表示の都合上少数第２桁位しか書いてませんが
実際はもっと正確な数字でやってます
実験１
上の５銘柄の組み合わせ（５銘柄全部使わないものも含む）を試し
シャープが最大になったのは
パナ，任天堂，シンプレクスの３銘柄を選んだ時でした．
最適なポートフォリオは
(1.1917, -1.5534, 1.3617)
ということでこのポートフォリオのプロファイルは
Return: 1.3458%
Risk: 6.4241%
Sharp: 0.2095
という結果でした～
まあ選んだ銘柄のリターンをみればあまり良い銘柄選択でない
ことは明らかで，まあこんなもんかーって感じです．
シャープを最大化しているポートフォリオであることを
図で確認するために以下の絵を用意しました(^^)
絵の見方を説明しましょう～
まず，横軸はポートフォリオのリスク（標準偏差），
縦軸はリターンを表します．
黒い点々はポートフォリオをランダムに生成して描いた
リスク-リターンの散布図になります．
つまり，ざっくり浮かび上がる黒い領域が
実現可能なリスク-リターンの組み合わせということです！
先端の水色の領域はショートを禁止してロングだけを許した場合に
実現可能なリスク-リターンの領域を表します．
空売りで領域がかなり広がることがわかりますね…
また，赤い直線のy-切片が国債のリターン，
もう一方の赤い点がシャープレシオを最大化する
ポートフォリオのリスク-リターンです．
すなわち，赤い直線の傾きがシャープレシオなのですが，
直線が黒い領域に接していいる様子，つまりー
シャープレシオが最大化されている様子がわかりますね！
（黒い領域の任意の１点と国債の点を結んだ直線の傾きは
赤い直線の傾きよりも小さいです）
ちなみにこの３銘柄ではその４で述べた
ケース２に相当しています．
実験２
せっかくなので問答無用で全銘柄を組み合わせてみました～
残念ながらこの５銘柄ではその４で述べた
ケース３に相当していて最大値がありません(^_^;)
そこで妥協ポートフォリオを計算してみました．
下の図をご覧下さい：
黒い領域と水色の領域は実験１と同じで
実現可能なポートフォリオを示しています．
ピンクの点々はその４で述べた
ケース３の妥協ポートフォリオの
パラメータ α を０から少しずつ大きくしていった時の
ポートフォリオの軌跡になります．
α = 0 では黒い領域のちょうど先端，
すなわち最小リスクのポートフォリオになっていて，
そこから α を大きくするにつれて
実現可能領域の上ギリギリを這うようにして
リスクもリターンも増加していきます．
この場合，傾き（シャープ）の最大はないけれども
その上限値を十分に近似しようと思うと
ピンクの点を無限に遠くにもっていかなければならないことが
直感的にわかるかとおもいます．
（つまり α を無限大に吹っ飛ばすってことです）
ちなみに赤い直線はリスクが約２４％になる点と国債の点を結んだ線で
シャープの上限を示しているわけではありません(-_-;)
参考までにこのポートフォリオは
(4.8304, -4.2276, 5.3806, -3.1820, -1.8014)
でそのプロファイルは
Return: 5.616%
Risk: 23.936%
Sharp: 0.23462
です．
ポートフォリオベクトルを見ればわかるように
たくさん買ってたくさん売るっていう
怪しいポートフォリオの出来上がりであります(-_-;)
なるべくこのケースに陥らないように
銘柄を選択しなければなりませんな～
ここでお買い得情報をお教えします！
実はその４で述べたケース２の不等式の条件とは
最小リスクのポートフォリオのリターン，
すなわち黒い領域の先端のリターンが
安全資産のリターンを上回るっていう条件なのですよ！
まあこういう状況が普通でしょう！
だってリスクを負ってるのに安全に稼げるリターンより
低いリターンしか実現できない状況っていったい…
ってかんじですよね^^;
今日はなんだか実験したんで
リスクやリターン，シャープといったものの理解が深まりマスタ！
ではおやすみなさい～
シャープレシオ最大化問題
その１， その２， その３， その４
はてはて，これまで長きにわたりシャープを最大化する問題
を考えてきて，ようやく答えがでたところでした～
今日は実データをもとに実験してみたいと思います！！
ようやく投資の匂いが漂ってきました(^^)
今日のところは銘柄選択は問題とせず，
適当に以下の５社を選びました．
パナソニック (6752)
任天堂 (7974)
シンプレクス テクノロジー (4340)
東京電力 (9501)
トヨタ (7203)
これら５社の2009/1/5～5/27までの日足データをもとに
１日の平均リターンと共分散を求めました（下参照）
データはYahoo Financeから拝借．
統計データの計算法は日足とか使ってる時点で怪しいかも…
また，安全資産は年0.5%の国債ってことにして，
１日の金利を 0.5 / 365 で計算しますた（適当…）
ともかく，実験なので良しとします～ぉぃぉぃ
リターン
| パナ | 任天堂 | シンプ | 東電 | トヨタ | 国債 |
| 0.22% | -0.29% | 0.46% | -0.20% | -0.10% | 0.0014% |
共分散行列
| パナ | 任天堂 | シンプ | 東電 | トヨタ | |
| パナ | 1.02E-03 | 3.59E-04 | 2.51E-05 | 4.76E-05 | -7.76E-06 |
| 任天堂 | 3.59E-04 | 9.43E-04 | 9.89E-05 | 2.84E-05 | -1.06E-05 |
| シンプ | 2.51E-05 | 9.89E-05 | 1.12E-03 | -2.98E-05 | 6.09E-05 |
| 東電 | 4.76E-05 | 2.84E-05 | -2.98E-05 | 2.74E-04 | -1.79E-05 |
| トヨタ | -7.76E-06 | -1.06E-05 | 6.09E-05 | -1.79E-05 | 1.59E-04 |
※表示の都合上少数第２桁位しか書いてませんが
実際はもっと正確な数字でやってます
実験１
上の５銘柄の組み合わせ（５銘柄全部使わないものも含む）を試し
シャープが最大になったのは
パナ，任天堂，シンプレクスの３銘柄を選んだ時でした．
最適なポートフォリオは
ということでこのポートフォリオのプロファイルは
Return: 1.3458%
Risk: 6.4241%
Sharp: 0.2095
という結果でした～
まあ選んだ銘柄のリターンをみればあまり良い銘柄選択でない
ことは明らかで，まあこんなもんかーって感じです．
シャープを最大化しているポートフォリオであることを
図で確認するために以下の絵を用意しました(^^)
絵の見方を説明しましょう～
まず，横軸はポートフォリオのリスク（標準偏差），
縦軸はリターンを表します．
黒い点々はポートフォリオをランダムに生成して描いた
リスク-リターンの散布図になります．
つまり，ざっくり浮かび上がる黒い領域が
実現可能なリスク-リターンの組み合わせということです！
先端の水色の領域はショートを禁止してロングだけを許した場合に
実現可能なリスク-リターンの領域を表します．
空売りで領域がかなり広がることがわかりますね…
また，赤い直線のy-切片が国債のリターン，
もう一方の赤い点がシャープレシオを最大化する
ポートフォリオのリスク-リターンです．
すなわち，赤い直線の傾きがシャープレシオなのですが，
直線が黒い領域に接していいる様子，つまりー
シャープレシオが最大化されている様子がわかりますね！
（黒い領域の任意の１点と国債の点を結んだ直線の傾きは
赤い直線の傾きよりも小さいです）
ちなみにこの３銘柄ではその４で述べた
ケース２に相当しています．
実験２
せっかくなので問答無用で全銘柄を組み合わせてみました～
残念ながらこの５銘柄ではその４で述べた
ケース３に相当していて最大値がありません(^_^;)
そこで妥協ポートフォリオを計算してみました．
下の図をご覧下さい：
黒い領域と水色の領域は実験１と同じで
実現可能なポートフォリオを示しています．
ピンクの点々はその４で述べた
ケース３の妥協ポートフォリオの
パラメータ α を０から少しずつ大きくしていった時の
ポートフォリオの軌跡になります．
α = 0 では黒い領域のちょうど先端，
すなわち最小リスクのポートフォリオになっていて，
そこから α を大きくするにつれて
実現可能領域の上ギリギリを這うようにして
リスクもリターンも増加していきます．
この場合，傾き（シャープ）の最大はないけれども
その上限値を十分に近似しようと思うと
ピンクの点を無限に遠くにもっていかなければならないことが
直感的にわかるかとおもいます．
（つまり α を無限大に吹っ飛ばすってことです）
ちなみに赤い直線はリスクが約２４％になる点と国債の点を結んだ線で
シャープの上限を示しているわけではありません(-_-;)
参考までにこのポートフォリオは
でそのプロファイルは
Return: 5.616%
Risk: 23.936%
Sharp: 0.23462
です．
ポートフォリオベクトルを見ればわかるように
たくさん買ってたくさん売るっていう
怪しいポートフォリオの出来上がりであります(-_-;)
なるべくこのケースに陥らないように
銘柄を選択しなければなりませんな～
ここでお買い得情報をお教えします！
実はその４で述べたケース２の不等式の条件とは
最小リスクのポートフォリオのリターン，
すなわち黒い領域の先端のリターンが
安全資産のリターンを上回るっていう条件なのですよ！
まあこういう状況が普通でしょう！
だってリスクを負ってるのに安全に稼げるリターンより
低いリターンしか実現できない状況っていったい…
ってかんじですよね^^;
今日はなんだか実験したんで
リスクやリターン，シャープといったものの理解が深まりマスタ！
ではおやすみなさい～
2009年6月1日月曜日
シャープレシオ最大化問題 その４
さて，前回まででシャープレシオを最大化する
ベクトルの範囲をかなり限定することに成功し
ついには非負のパラメータ α の関数の最大化に
帰着させることに成功したのでした～
その関数とはずばり…
ここで
さて，こいつをガツんとびぶっちゃうとこうなります：
場合分けは高校生でもできるので簡単です～
ので省略します…(-_-;)
まとめると答えは次のようになります！
シャープレシオ最大化問題を解くポートフォリオ w および
その時のシャープレシオ θmax, リターン rp,
リスク（標準偏差） σp は次のようになる：
ケース１
最大値は存在しない．
しかし妥協案として次のポートフォリオが考えられる．
g は α の単調増加関数なので，α を十分大きくとればその上限
ただし， α を大きくするにつれてリスクも（リターンも）無限大に近づくことに注意！
【考察】
ケース１は実際はほとんど起こり得ないと考えられるでしょう．
また，実際はポートフォリオに組み込む銘柄を選択できるので
できるだけケース２の条件を満たすように選ぶことが理想的です．
なぜなら，ケース３において最小のリスクになるように α を調整したとします．
これは α = 0 で実現できるのですが，
このポートフォリオは最小のリスク（標準偏差）を与えるにも関わらず，
（もちろん危険資産の組なのでリスクは０ではありません）
そのリターンは安全資産の金利 r よりも低いというサックスな
ポートフォリオなのです！！！
（これは簡単に確認できます）
ふぅ，長かったですがようやくシャープレシオ最大化問題に終止符を打てました！
次回は実験してみたいと思います！！
それでは～(^^)/
ベクトルの範囲をかなり限定することに成功し
ついには非負のパラメータ α の関数の最大化に
帰着させることに成功したのでした～
その関数とはずばり…
g(\alpha) = \frac{ \alpha\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{\langle s, \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2}
}{ \sqrt{ \alpha^2\lVert q \rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1} \rVert_\varSigma^2} } }
ここで
\begin{aligned}
s&=\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})\\
q&=\biggl( s - \frac{\langle \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}, s\rangle_\varSigma}{\lVert \varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\biggr)
\end{aligned}
w=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}+v=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}} + \alpha q
さて，こいつをガツんとびぶっちゃうとこうなります：
g'(\alpha)=\frac{\lVert q\rVert_\varSigma^2 \bigl(1-\alpha\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma\bigr)}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2\Bigl(\alpha^2\lVert q\rVert_\varSigma^2 + \frac{1}{\lVert\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rVert_\varSigma^2}\Bigr)^{\frac{3}{2}}}
場合分けは高校生でもできるので簡単です～
ので省略します…(-_-;)
まとめると答えは次のようになります！
シャープレシオ最大化問題を解くポートフォリオ w および
その時のシャープレシオ θmax, リターン rp,
リスク（標準偏差） σp は次のようになる：
ケース１
\mu=\rho\boldsymbol{1}\ \text{for some}\ \rho\in\mathbb{R}のとき
\begin{aligned}
w&=\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}},\\
\theta_{\rm max} &= (\rho-r)\sqrt{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}},\\
r_p &= \rho,\\
\sigma_p&=\frac{1}{\sqrt{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}}
\end{aligned}
\begin{cases}
\mu\neq\rho\boldsymbol{1} \quad \text{for all}\ \rho\in\mathbb{R}\\
\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma =\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) > 0
\end{cases}
\begin{aligned}
w&=\frac{\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
\theta_{\rm max} &= \sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
r_p&=\frac{\mu^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}\\
\sigma_p&=\frac{\sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1})}
\end{aligned}
\begin{cases}
\mu\neq\rho\boldsymbol{1} \quad \text{for all}\ \rho\in\mathbb{R}\\
\langle s,\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}\rangle_\varSigma =\boldsymbol{1}^T \varSigma^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) \le 0
\end{cases}
最大値は存在しない．
しかし妥協案として次のポートフォリオが考えられる．
\begin{aligned}
w_\alpha&=\alpha\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) \\
&\qquad+ \bigl\{1-\alpha\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) \bigr\}
\frac{\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}\\
\theta_\alpha&= g(\alpha)
\end{aligned}
g は α の単調増加関数なので，α を十分大きくとればその上限
\sup_{\alpha\ge 0} g(\alpha) = \sqrt{(\mu-r\boldsymbol{1})^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) - \frac{(\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}(\mu-r\boldsymbol{1}) )^2}{\boldsymbol{1}^T\varSigma^{-1}\boldsymbol{1}}}
ただし， α を大きくするにつれてリスクも（リターンも）無限大に近づくことに注意！
【考察】
ケース１は実際はほとんど起こり得ないと考えられるでしょう．
また，実際はポートフォリオに組み込む銘柄を選択できるので
できるだけケース２の条件を満たすように選ぶことが理想的です．
なぜなら，ケース３において最小のリスクになるように α を調整したとします．
これは α = 0 で実現できるのですが，
このポートフォリオは最小のリスク（標準偏差）を与えるにも関わらず，
（もちろん危険資産の組なのでリスクは０ではありません）
そのリターンは安全資産の金利 r よりも低いというサックスな
ポートフォリオなのです！！！
（これは簡単に確認できます）
ふぅ，長かったですがようやくシャープレシオ最大化問題に終止符を打てました！
次回は実験してみたいと思います！！
それでは～(^^)/
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